$\mathbb{R}^n空间中的超平面$

$\mathbf{x}$，$\mathbf{w}$分别为$\mathbb{R}^n$空间中的一点。
设$\mathcal{S}$为$\mathbb{R}^n$上的一个超平面（点集）。
以法向量$\mathbf{w}$来定义，有：

$$
\forall \mathbf{p}, \mathbf{q} \in \mathcal{S}
\Rightarrow
\mathbf{w}^\top \cdot (\mathbf{p} – \mathbf{q}) = 0
$$

从上述定义不难看出，我们可以这样描述超平面$\mathcal{S}$：

$$
\mathcal{S}=
\{
\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n
\mid
\mathbf{w}^\top \cdot \mathbf{x} +b = 0
\}
$$
$$
\mathbf{x}
=
\begin{bmatrix}
x^{(1)}
\\
x^{(2)}
\\
\vdots
\\
x^{(n)}
\end{bmatrix}
$$
$$
\sum\limits_{i=1}^{n}
w^{(i)} \cdot x^{(i)}
= -b
$$

现在我们考虑$b$的含义。
考虑超平面$\mathcal{S}$在$\mathbb{R}^n$空间上的截距。以在第一个维度的截距为例，截距$\mathbf{a}^{(1)}$为：

$$
\mathbf{a}^{(1)} =
\begin{bmatrix}
a^{(1)}
\\
0
\\
\vdots
\\
0
\end{bmatrix}
$$

有：

$$
\begin{aligned}
\mathbf{w}^\top \cdot \mathbf{a}^{(1)} + b = 0
\\
w^{(1)} \cdot a^{(1)} + b =0
\\
a^{(1)} = \frac{-b}{w^{(1)}}
\end{aligned}
$$

更一般地，$a^{(i)} = \frac{-b}{w^{(i)}}$。
现在我们想知道超平面$\mathcal{S}$离坐标原点的欧氏距离$\lambda$。
考虑位于超平面上的与法向量共线的$\frac{\lambda \mathbf{w}}{\lVert\mathbf{w} \rVert_2}, \lambda \in \mathbb{R}$。
有：

$$
\mathbf{w}^\top \cdot
\frac{\lambda \mathbf{w}}{\lVert\mathbf{w} \rVert_2} +b = 0
$$

可见：

$$
\lambda = \frac{-b}
{\lVert \mathbf{w} \rVert_2}
$$

现在我们考察$\mathbb{R}^n$空间中任意一点$\mathbf{y}$到超平面$\mathcal{S}$的欧氏距离$d$。

$$
\exists b^\prime \in \mathbb{R},\quad
\mathbf{w}^\top \cdot \mathbf{y} + b^\prime = 0
$$

$\mathbf{w},b^\prime$定义了一个新的超平面$\mathcal{S}^\prime$，新的超平面距原点的距离$\lambda^\prime$为：

$$
\lambda^\prime = \frac{-b^\prime}{\lVert \mathbf{w} \rVert_2}
$$

不难看出，两个超平面间的距离就是$d$。

$$
d = \lambda^\prime – \lambda
= \frac{\mathbf{w}^\top \cdot \mathbf{y} +b}
{\lVert \mathbf{w} \rVert_2}
$$